В трапеции длина отрезка , соединяющего середины оснований , равна 8 . Если диагонали трапеции равны 30 и 34, то ее площадь равна ? решение + рисунок

кстати, доказать, что площадь APK = 1/4 площади трапеции - легко, но НЕ ТАК легко :). Надо еще выбрать середину CD -точка Q, тогда KFQP - параллелограмм со сторонами, равными половине диагоналей и параллельными им. Площади "отрезанных" треугольников KFB, FCQ, QDP и PAK в сумме дают половину площади трапеции (ну вот Skfb = Sacb/4 и так далее, если сложить, получится половина от площади трапеции). Дальше очевидно

См. чертеж. DE = BC про построению. => BCED - параллелограмм, и CE = BD;M - середина AE = AD + BC; => PM = (AD + BC)/2 - AD/2 = BC/2 = FC;=> PFCM - параллелограмм, и CM = FP;по построению MN = CM; диагонали четырехугольника ACEN делятся точкой пересечения пополам => это тоже параллелограмм.Площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACE; и та и та равны H*(AD + BC)/2; где H - расстояние от точки C до AD, (в таких случаях говорят, что у треугольника и трапеции общая высота).Площадь треугольника ACE равна площади треугольника ACN - обе равны половине площади параллелограмма ACEN;Треугольник ACN имеет стороны 30, 34 и 16; его площадь находится элементарно и равна 240; Не буду изображать хранителя знаний :)) ACN - прямоугольный треугольник, поскольку 16, 30, 34 - Пифагорова тройка, кратная (8, 15, 17);Можно было бы и выбрать середину AB - пусть это точка K, и показать, что 1) площадь APK равна 1/4 площади трапеции, достаточно провести среднюю линию, и все видно, 2) APK - (8, 15, 17);