Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 40 см, а высота, проведенная к основанию, – 4√91 см. Найдите расстояние между точками пересечения биссектрис углов при основании треугольника с его боковыми сторонами.

АВС - равнобедренный тр-ник, АВ=ВС=40 см, ВМ=4√91 см, АР и СК - биссектрисы. Найти КР.Тр-ки АРС и АКС равны, так как ∠АСК=∠САР, ∠КАС=∠РСА, сторона АС - общая, значит АК= РС, значит КР║АС, значит треугольники АВС и КВР подобны.В прямоугольном тр-ке АВМ АМ²=АВ²-ВМ²=40²-(4√91)²=144,АМ=12 см, АС=2АМ=24 см.Коэффициент подобия тр-ков АВС и КВР равен: k=АВ/КВ.По теореме биссектрис  в тр-ке АВС с биссектрисой СК: ВС/АС=КВ/АК ⇒ КВ=ВС·АК/АС.АК=АВ-КВ, значит КВ=ВС(АВ-КВ)/АС.КВ=40(40-КВ)/24,24КВ=1600-40КВ,64КВ=1600,КВ=25 см, Подставим это значение в формулу коэффициента подобия: k=АВ/КВ=40/25=1.6Исходя из подобия тр-ков АВС и КВР КР=АС/k=24/1.6=15 см - это ответ.