Стереометрия. Максимальный балл!
Можно без рисунка.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF с вершиной S боковое ребро вдвое больше стороны основания.
а) Докажите, что плоскость, проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SB в отношении 1 : 3, считая от вершины B.
б) Найдите отношение, в котором плоскость. проходящая через середины рёбер SA и SE и вершину C, делит ребро SF, считая от вершины S.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, изобразив его как вид сбоку.На рисунке SAF, SAB и SBC - грани пирамиды; А1, М1 и К1 - точки пересечения плоскости и рёбер SF.SA и SB соответственно.По условию боковое ребро вдвое больше стороны основания.Пусть сторона основания будет равна а, тогда боковая сторона равна 2а.АВ=FO=CO=a.а) Высота пирамиды из треугольника SCO: SO=√(SC²-CO²)=√(4a²-a²)=a√3.Из тр-ка SM1M2 SM2=SM·cos60=0.5a·1/2=a/4. Проекции SM2 и МО ра двух рисунках равны. МО=а/4.СМ=СО+МО=а+а/4=5а/4.Треугольники SAO и M1AO подобны по трём углам, значит SA/M1A=SO/M1M ⇒ M1M=SO/2=a√3/2.В ΔСМ1М tgC=M1M/CM=4a√3/(10a)=2√3/5.В ΔBSO tgВ=SO/BO=2а√3/а=2√3. (т.к. ВО=АВ/2=а/2).Пусть КВ=х, тогда СК=КВ+СВ=х+а/2.В ΔСК1К К1К=СК·tgC=(x+а/2)·2√3/5.В ΔВК1К К1К=КВ·tgВ=2х√3.Объединим уравнения:(х+а/2)·2√3/5=2х√3,2х√3+а√3=10х√3,а√3=8х√3,х=а/8.Треугольники ВSО и ВК1К подобны по трём углам, значит:K1B/SB=ВК/ВО=а/8:а/2=1:4 ⇒SK1=3K1B, значит К1В:SK1=1:3. Доказано.б) Пусть АF=у, тогда AC=FC-y=2a-y.В ΔFA1A ∠F=60° (так как FO=SF/2 ∠F=60°), А1А=AF·tgF=у√3.В ΔСА1А А1А=АС·tgС=(2а-у)·2√3/5.Объединив уравнения получим:у√3=(2а-у)·2√3/5,5у=4а-2у,7у=4а, у=4а/7.Коэффициент подобия треугольников FA1A и FSO: k=FA/FO=4a/7a=4/7.А1F=SF·k=2a·4/7=8a/7.SA1=SF-A1F=2a-8a/7=6a/7.SA1:A1F=6a/7:8a/7=3:4 - это ответ.Пришлось повозиться.