Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O , причём
треугольник KAN прямоугольный ( = 90 A ) и =3 AK AN . Точка B лежит
на стороне KN и : 2:1 KB BN  .
а) Докажите, что прямая BM параллельна прямой AN .
б) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите
отношение : LP PM .

молодец, проще решил.

AK=3AN, KB:BN=2:1.Пусть NB=х, тогда сторона квадрата равна 3х.а) ∠NBM=∠BML так как NK║ML и МВ - секущая.В тр-ке MNB tgB=MN/NB=3x/3=3.В тр-ке AKN tgN=AK/AN=3AN/AN=3.При параллельных NK и ML ∠ANK=∠BML, значит BM║AN.Доказано.б) АР пересекает сторону KN в точке Н. В тр-ках AKN и KOH на сторону KN опустим высоты АС и ОТ соответственно.Пусть AN=y, AK=3y.В прямоугольном тр-ке АKN AN²+AK²=KN²,y²+9y²=9x²,y=3x/√10.Высота АС=AN·AK/KN=(3x/√10)·(9x/√10)/(3x)=9x/10.В тр-ке ACN NC=AC/tgN=3x/10.CT=NT-NC=(3x/2)-(3x/10)=6x/5.Треугольники АСН и ОТН подобны (∠АНС=∠ОНТ и оба прямоугольные).Коэффициент подобия тр-ков АСН и ОТН: k=АС/ОТ=(9х/10):(3х/2)=3/5.СН/НТ=3/5.Пусть СН=3z, НТ=5z.СТ=CH+HT=3z+5z=8z,8z=6x/5,z=3x/20.СН=9х/20, НТ=3х/4.NH=NC+CH=(3x/10)+(9x/20)=3x/4.КН=КТ+НТ=(3х/2)+(3х/4)=9х/4.NH:KH=(3х/4):(9х/4)=1:3.Треугольники КОН и МОР равны так как ∠НОК=∠РОМ (как вертикальные), ∠ОКН=∠ОМР (KN║ML и КМ - секущая), МО=ОК.KN=ML, КН=МР, значит LP:PM=NH:KH=1:3 - это ответ.

а) tg∠BMN=BN/MN=(KN/3)/MN=1/3=AN/AK=tg∠AKN, т.е. ∠BMN=∠AKN. Значит ∠BMN+∠MNA=∠BMN+(90+∠KNA)=∠BMN+(90°+(90°-∠AKN))=180°.т.е. сумма внутр. односторонних углов при прямых BM, AN и секущей MN равна 180°, откуда BM||AN.б) Четырехугольник KONA - вписанный, т.к. ∠KON=90 и ∠KAN=90.Значит ∠OAN=∠OKN=45, т.е. AO - биссектриса треугольника KAN, т.е. делит сторону KN в отношении AN/AK=1/3. Значит LP/PM=1/3.