Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.

Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.
- Предмет:
  Геометрия
- Автор:
  tyler
- 6 лет назад

Ответы 1

Векторами можно, например. Вообще с нуля, не привлекая никакие описанные окружности и о то, что гипотенуза лежит на её диаметре.

Вводим ортонормированный базис $\left\{\mathbf{i},\mathbf{j}ight\}$ в вершине прямого угла с ортами, направленными по катетам. В этом базисе катеты (AB и AC) будут иметь компоненты $\left(AB; 0ight)$ и $\left(0; ACight)$ , а гипотенуза $\mathbf{AB} + \mathbf{BC} = \mathbf{AC} \;\; \Rightarrow \;\; \mathbf{BC} = \mathbf{AC} - \mathbf{AB}$ — компоненты $\left(-AB; ACight)$ .

Половина вектора $\frac{1}{2}\mathbf{BC} = \mathbf{BE}$ , конец E которого будет точкой исследуемой медианы, принадлежащей гипотенузе, имеет компоненты $\left(-\frac{AB}{2}; \frac{AC}{2}ight)$ . Следовательно, медиана $\mathbf{AE} = \mathbf{AB} + \mathbf{BE}$ будет иметь компоненты $\left(AB - \frac{AB}{2}; 0 + \frac{AC}{2}ight) = \left(\frac{AB}{2}; \frac{AC}{2}ight)$ .

Находим длину (норму) вектора $\mathbf{AE}$ , которая и будет представлять длину медианы:

$||\mathbf{AE}|| = \sqrt{\mathbf{AE} \cdot \mathbf{AE}} = \frac{1}{2}\sqrt{AB^2 + AC^2}$ .

А длина (норма) вектора гипотенузы $\mathbf{BC}$ :

$||\mathbf{BC}|| = \sqrt{(-AB)^2 + AC^2}$ .

Следовательно, длина медианы AE в точности равна половине длины гипотенузы BC.

Утверждение доказано.
- Автор:
  melaniej30w
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ