Угол между секущей плоскостью, проходящий через вершину конуса и плоскостью основания равен 45 градусов. Сечение конуса – прямоугольный треугольник. Найти площадь сечения, если расстояние от центра основания конуса до секущей плоскости равно 3.

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру (то есть перпендикулярной к обеим плоскостям). Поэтому данный нам угол между плоскостями - это  <SHO=45°, где ОН - часть радиуса основания, проведенного перпендикулярно к хорде АВ (линии пересечения двух плоскостей). <ASB=90° (дано).В прямоугольном треугольнике SOH (высота SO перпендикулярна основанию конуса) катеты ОН и ОS равны, так как <SHO=45°. Значит гипотенуза SH по Пифагору равна: SH=3√2. Заметим, что SH - высота прямоугольного равнобедренного треугольника АSВ (<ASB=90°), опущенная из прямого угла на гипотенузу АВ и по свойству медианы (а эта высота является и медианой) равна половине гипотенузы. То есть АН=3√2 и поскольку это половина основания треугольника ABS с высотой SH, площадь этого треугольника (площадь сечения) равна S=SH*AH=3√2*3√2=18.Ответ: S=18.