Найдите длины сторон равнобедренноготреугольника ABC с основанием AC, еслиизвестно, что длины его высот AN и BMравны соответственно n и m.

Ответы 1

Чертеж - во вложении.Пусть АВ=ВС=х, АС=у (для удобства)По формуле площади треугольника через высоту $S= \frac{1}{2} h*a$ получаем соотношения: $S_{\Delta}= \frac{1}{2}my;\ S_{\Delta}= \frac{1}{2}nx.$ Следовательно, $\frac{1}{2}my= \frac{1}{2}nx\ =\ \textgreater \ y= \frac{n}{m}x$ По формуле площади треугольника через синус угла $S= \frac{1}{2} a*b*sin\ \alpha$ получаем $S_{\Delta}= \frac{1}{2} xy*sin\ C= \frac{1}{2} x* \frac{n}{m}x *sin\ C= \frac{nx^2}{2m} *sin\ C$ Сопоставим площади: $\frac{nx^2}{2m} *sin\ C=\frac{1}{2}nx\ =\ \textgreater \ sin\ C= \frac{m}{x}$ В Δ АВС по теореме косинусов АВ²=ВС²+АС²-2ВС·АС·cos C.х² = х² + у² - 2ху·cos C $cos\ C= \frac{y^2}{2xy} =\frac{y}{2x} = \frac{nx}{m} * \frac{1}{2x}= \frac{n}{2m}$ По основному тригон.тождеству sin²C+cos²C=1. Отсюда $sin^2C=1-cos^2C=1- \frac{n^2}{4m^2} = \frac{4m^2-n^2}{4m^2}$ $\frac{4m^2-n^2}{4m^2} =\frac{m^2}{x^2} \\ x^2=\frac{4m^4} {4m^2-n^2} \\ x= \sqrt{ \frac{4m^4} {4m^2-n^2} }= \frac{2m^2}{ \sqrt{4m^2-n^2} } =BC=AB.$ $AC=y= \frac{n}{m} x= \frac{n}{m} *\frac{2m^2}{ \sqrt{4m^2-n^2} } =\frac{2mn}{ \sqrt{4m^2-n^2} } .$ Все стороны найдены.
- Автор:
  henrytflc
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы