Пусть ABC — равносторонний треугольник, радиус описанной окружности которого равен 1, M — точка, которая делит дугу AC этой окружности в отношении 1:2014 считая от вершины A. Найдите MA^2+MB^2+MC^2.

Геометрический способ:S(AMB)=1/2MA·MB·sin(AMB)=(√3/4)MA·MB, т.к. ∠AMB=∠ACB=60°.Отсюда  MA·MB=4S(AMB)/√3 и аналогично из площадей треугольников AMC и СМВ получим MA·MC=4S(AMC)/√3, MC·MB=4S(СMВ)/√3.По теореме косинусов для тех же треугольников:AB²=MA²+MB²-MA·MB=MA²+MB²-(4/√3)·S(AMB);AС²=MA²+MС²+MA·MС=MA²+MС²-(4/√3)·S(AMС);СB²=MС²+MB²-MС·MB=MС²+MB²-(4/√3)·S(СMB).Сложим эти равенства:AB²+AС²+СB²=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(S(AMB)-S(AMС)+S(СMB)).Но AB=AС=СB=√3, и значит AB²+AС²+СB²=3+3+3=9,S(AMB)+S(СMB)-S(AMС)=S(ABC)=(3√3)/4.Поэтому 9=2(MA²+MB²+MС²)-(4/√3)·(3√3)/4, т.е. MA²+MB²+MС²=(9+3)/2=6.Тригонометрический способ:Если R - радиус, О - центр окружности и ∠AOM=2x, то  MА=2Rsin(x), MB=2Rsin(60°+x), MC=2Rsin(60°-x). Значит MA²+MB²+MС²=4R²(sin²(x)+sin²(60°+x)+sin²(60°-x)). После раскрытия синусов суммы и упрощения получим 6R², что и требовалось.