Прямые МА и MB касаются окружности с центром О в точках А и В. Точка С симметрична точке О относительно точки В. Докажите, что ∠AMC = 3∠BMC.

Рассмотрим окружность с центром в точке О. ОА и ОВ - радиусы окружности, поэтому OA=OB. По теореме о касательных (две пересекающиеся касательные равны) эти треугольники равны по углу (угол радиуса к касательной всегда прямой по свойству касательной) и прилежащим к ней сторонам, а отсюда следует, что углы АМО и ОМВ равны (только они как-бы в зеркальном оторбражении). (1)

Кроме того, по правилу зеркальной симметрии, OB = BC, а также углы BMC и OMB равны. (2)

Следует отметить, что угол AMC содержит все три угла.

Из (1) и (2) следует, что углы АМО, BMC и ОМВ равны, а значит, если считать один их этих углов равным одной части, то весь угол AMC равен трём частям.

Иными словами, AMC = 3BMC, что и требовалось доказать.