на стороне AC треугольника ABC отмечены точки D и Е так, что AD = CE. Докажите что если BD = BE, то AB = BC.

Если 2 стороны равны, это не значит что и третья равна. Нужно доказать, что угол между этими двумя сторонами тоже равен

Ну или не рисовать высоту, а исходить из того, что угол BDC равен углу BEA. В свою очередь углы ADBи CEB тоже равны. Ну а если 2стороны и угол между ними равны, то и третьи стороны треугольника тоже будут равны

Треугольники ABD и СЕВ равны,т.к. AD=CE, BD=BE отсюда следует,что АВ=ВС

Треугольник BDE равнобедренный из условий. С угла В на сторону DE нужно опустить высоту ,скажем ВХ, она же бисектриса и медиана. Берем 2 треугольника АВХ и ВСХ. Получается что AX=XС и общая сторона ВХ так же равна, и и угол АХВ и СХВ равны (90°), то и стороны АВ и ВС равны.