a,b,c - стороны треугольник, а S-его площадь. Докажите, что а) S≤[tex] \frac{1}{2}ab [/tex] b) S≤[tex] \frac{1}{6} (ab+ac+bc) [/tex] c) S≤[tex]\frac{1}{2} ( a^{2}+ b^{2} + c^{2} )[/tex]

ab≤(a²+b²)/2 Это конечно так, но очевидно ли?

ну, да, перенести все в одну сторону и полный квадрат выделить. Или как неравенство для средних: среднее арифм. чисел a^2 и b^2 больше их ср. геометрического.

да это ясно, но наверху сидит кажется 9 класс.

Про то, что ав меньше (а^2 +2ab+d^20 они бы поняли

S=1/2·ab·sinC≤ab/2. Значит S≤bc/2, S≤ac/2. Сложим их: 3S≤(ab+bc+ac)/2, получаем б). Т.к. ab≤(a²+b²)/2, то S≤(ab+bc+ac)/6≤((a²+b²)+(b²+c²)+(a²+c²))/12=(a²+b²+c²)/6.