Дан прямоугольник стороны которого идут по линиям решетки, а вершины лежат в узлах. Количество узлов внутри прямоугольника равно u, а на границе g. Докажите, что S=u+[tex] \frac{g}{2} [/tex]-1
P.s. спам не слать, жалуюсь!

Решётка состоит из ячеек, разделённых прутьями, образующих при пересечении узлы. Площадь прямоугольника обозначает количество ячеек внутри прямоугольника.Обозначим количество ячеек, примыкающих к сторонам прямоугольника как х и у.Количество узлов, на одной из сторон будет равно х+1, а на другой у+1. Однако угловые узлы у них общие. Тогда количество узлов у противоположных сторон прямоугольника со стороной х будет 2(х+1), а у пары сторон со стороной у будет 2((у+1)-2)=2(у-1).Посчитаем сумму узлов по периметру: g=2(х+1)+2(у-1)=2(х+у).Оставшиеся узлы решётки находятся внутри прямоугольника. Их сумма: u=(х-1)·(у-1).Площадь прямоугольника:S=х·у.Докажем равенство.S=u+g/2-1=(х-1)(у-1)+2(х+у)/2-1=х·у-х-у+1+х+y-1=х·у.Доказано.