Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см. Найдите радиус описанного около него круга, если площадь треугольника равна 24 см^2.

Пусть катеты равны Х и Y, тогда гипотенуза равна sqrt(X^2+Y^2). Площадь равна Х*Y/2=24, отсюда Х*Y=48. Периметр равен Х+У+sqrt(X^2+Y^2)=24, sqrt(X^2+Y^2)=24-(X+Y). Возводим обе части в квадрат: X^2+Y^2=576-48*(X+Y)+X^2+2*X*Y + Y^2. Уничтожаем X^2 и Y^2, вместо X*Y подставляем 48: 48*(X+Y)=576+2*48=672, сокращаем: X+Y=14, Х+48/Х=14, X^2-14*X+48=0, (Х-6)*(Х-8)=0, Х=6, Y=8, или наоборот. Гипотенуза равна 10. Радиус описанного круга равен половине гипотенузы, т. е. 5. Площадь круга 25*Пи см^2.