В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1. Чему равен угол C, если AB=4 и A1B1= 2 корня из 3х. (первая лемма о высотах)

Треугольники АВ1В и АА1В прямоугольные с общей гипотенузой АВ, значит оба они вписаны в одну окружность с диаметром АВ.Точка О - центр окружности. АО=ВО=АВ/2=4/2=2.В тр-ке АА1В1 ОА1=ОВ1=R=2.По теореме косинусов cos(А1ОВ1)=(ОА1²+ОВ1²-А1В1²)/(2·ОА1·ОВ1)= (2²+2²-(2√3)²)/(2·2·2)=-4/8=-1/2.∠А1ОВ1=arccos(-1/2)=120°.Если точка пересечения двух секущих к окружности находится вне окружности, то угол между секущими равен половине разности дуг, которые они высекают. В нашем случае АС и ВС - секущие, значит:∠АСВ=(∩АВ-∩А1В1)/2=(180°-120°)/2=30° - это ответ.