В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB
и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно.

а) Докажите, что отрезки AM и MK равны.

б) Найдите MK, если AB=5, AC=8.

В равнобедренном тупоугольном треугольнике АВС на продолжение боковой стороны ВС опущена высота АН. Из точки Н на сторону АВ и основание АС опущены перпендикуляры НК и НМ соответственно. 

а) Докажите, что отрезки АМ и МК равны. 

б) Найдите МК, если АВ=5, АС=8

Сделаем чертеж. 

АН - высота тупоугольного треугольника, проведенная к боковой стороне, и расположена вне треугольника;  угол АНС прямой. 

⊿ АНС - прямоугольный, НМ⊥АС,  и по свойству высоты прямоугольного треугольника делит его на подобные треугольники АМН и СМН. 

∠АНМ=∠ВСА (=∠ВАС, т.к. углы при основании равнобедренного треугольника равны)

⊿ АМН и ⊿ АКН прямоугольные и имеют общую гипотенузу АН, следовательно, вокруг них можно описать общую окружность с диаметром АН.

В этой окружности вписанные углы АНМ и АКМ по свойству вписанных углов, опирающихся на одну дугу, равны. ⇒

∠АКМ=∠АНМ, но ∠АНМ=∠ВСА= ВАС ⇒

∠АКМ=∠КАМ, ∆ АМК равнобедренный, и АМ=КМ, что и требовалось доказать. 

--------------

б) Найдите МК, если АВ=5, АС=8

МК=АМ. Найдем длину АМ. 

 Так как ∆ АВС равнобедренный, высота ВТ в нем и биссектриса и медиана. ⇒

АТ=ТС=8:2=4 

В ⊿ ВТС отношение катета ТС и гипотенузы ВС =4:3,⇒ он- египетский, и ВТ=3 ( то же и по т.Пифагора)

sin ∠ВСТ=ВТ:ВС=0,6

АН=АС•sin∠ACH=8•0,6=4,8

Т.к. ∠АНМ=∠ВСА ( доказано из подобия),  то 

АМ=АН•sin ∠АНМ

АМ=4,8•0,6=2,88

Следовательно, и  МК, равный АМ, равен 2,88 (ед. длины)