В  правильной  треугольной  пирамиде  боковое  ребро 
равно  13 ,  а  апофема  равна  10 .  Найдите  высоту 
пирамиды. 

Пирамида правильная, значит треугольник АВС - правильный (равносторонний), а вершина S проецируется в центр О треугольника АВС.AS - боковое ребро =13.SH - апофема = 10.АН - половина стороны (так как в правильной пирамиде боковые грани - равнобедренные треугольники), по Пифагору равна √(AS²-SH²) илиАН=√(169-100)=√69.АВ=2√69.АВС - правильный треугольник, в котором СН - высота, медиана и биссектриса. СН=(√3/2)*АВ (формула).СН=(√3/2)*2√69=3√23.НО=(1/3)*СН (свойство медианы) илиНО=√23.Из прямоугольного треугольника SOH по Пифагору:SO=√(SH²-HO²) или SO=√(100-23) =√77.Ответ: SO=√77.