Точка С - середина отрезка AB, не пересекающего плоскость альфа.
Через точки А, С и B проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость альфа, соответственно в точках А1, С1, B1. Докажите что точки А1, С1, B1 лежат на одной прямой. Найдите СС1, если АА1=5см, BB1 = 7 см

АА₁ || ВВ₁ , АВ∦(не параллельно) А₁В₁  ⇒  А₁АВВ₁ - трапеция

АС = СВ, АА₁ || СС₁ || ВВ₁ ⇒  А₁С₁ = С₁В₁ - по теореме Фалеса

Точка С₁ - середина А₁В₁, значит, точки А₁ , С₁ и В₁ лежат на одной прямой

Или можно пойти от противного, допустим точка С₁ ∉ А₁В₁ , С₁ ∈ α, тогда если провести среднюю линию СМ трапеции А₁АВВ₁, А₁М = МВ₁, то АА₁ || СМ || ВВ₁ , но по условию АА₁ || СС₁ || ВВ₁ ⇒ СМ || СС₁, что невозможно, а значит, точка С₁ ∈ А₁В₁ , ч.т.д.

АС = СВ, А₁С₁ = С₁В₁ ⇒  СС₁ - средняя линия

СС₁ = (АА₁ + ВВ₁)/2 = (5 + 7)/2 = 6 см

Ответ: 6 см