В равнобедренную трапецию вписана окружности с радиусом 3. Найдите площадь и диагонали трапеции, если меньшее основание в 2 раза меньше высоты трапеции.

----Картинка во вложении----

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD со вписанной окружностью радиусом 3.

По условию сторона ВС равна половине высоты. Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности, тогда

ВС=0,5*h=0,5*(3+3)=3

Найдем большее основание трапеции.

Рассмотрим два треугольника ОКС и OND. Они подобны. Тогда составим соотношение длин сторон

ОК/КС=ND/ON

То есть

3/1,5= ND/3

ND=3*3/1,5=6

AD=2*ND=2*6=12

Найдем площадь трапеции

S=KN*(BC+AD)/2=6*( 12+3)/2=45

Найдем длину диагонали.

Для этого рассмотрим треугольник DEB. Гипотенуза ВD этого треугольника является диагональю трапеции

Катет ВЕ = 6. Катет ЕD = ВС+(АD-ВС)/2=3+(12-3)/2=7,5

По длине катетов найдем длину гипотенузы

ВD=Корень квадратный из( ВЕ* ВЕ + ЕD* ЕD )= Корень квадратный из(6*6+7,5*7,5)=9,6