Площадь треугольника ABC равна 6. На стороне AB выбрана точка M так, что AM:BM= 2:3. На стороне AC- точка N так, что AN:NC=5:3. Точка P- точка пересечения прямых CM и BN - отстоит от прямой AB на расстоянии 1,5. Найти длину стороны AB.

По теореме Чевы получаем:

CO/OB* BM/AM*AN/NC= 1

отудого CO/OB=2/5 

Проведем параллельно стороне АВ отрезок CL,  Получим пару подобных треугольников: 

1)COL ~ AOB.  

2)CLP ~ APM.   

Из подобия треугольник АОВ~COB  получаем CL/AB=CO/OB =2/5  => CL=2AB/5 

Из подобия треугольников CLP~APM  получаем  CP/PM=CL/AM=1     => CP=PM 

У нас высота CH параллельна PG которая равна 1,5см или 3/2  (по условию).

Значит треугольники CHM~PGM  так же  подобны, следовательно:

PM/CM=PG/CH

3/2 / 1/2 = CH

 3 =CH

Площадь треугольника АВС ,    вычисляеться по формуле S=0.5*a*H.

H=3, S=6

S= 3*5y/2=6

15y=12

y=4/5

AB=4/5*5 = 4 см