Стороны треугольника равны a, b, c. Докажите, что медиана, проведённая к стороне c, равна .

Надо "достроить" треугольник до параллелограмма, продлив медиану на "свою" длину за сторону с и соединив полученную точку с концами с. 

Три вершины А В С, четвертая вершина полученного параллелограмма пусть Е.

Если обозначить x = cos(угол АСВ),  то соs(угол САЕ) = cos(180 - угол АСВ) = -x.

По теореме косинусов для тр-ка АВС

c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*x;

По теореме косинусов для тр-ка САЕ со сторонами b, a, 2*m (m - медиана тр-ка АВС к стороне с)

(2*m)^2 = a^2 + b^2 + 2*a*b*x;

Осталось сложить оба равенства.

(2*m)^2 = 2*(a^2 + b^2) - c^2;

Если поделить на 4, получится известная формула для длины медианы.