На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D , так что AD=AB
На стороне AB отмечена точка F так ,что середина отрезка CF лежит на BD
Докажите что BF=CD

Пусть О - точка пересечения BD и CF. На АС возьмем точку К так, что FK||BD. Тогда, т.к. AB=AD, то ∠ABD=∠ADB, т.е. трапеция DKFB - равнобедренная, т.е. BF=DK. Но OD - средняя линия треугольника KFC (она параллельна FK и проходит через середину FC). Значит, CD=DK=BF. Что и требовалось.