Диагонали ромба являются биссектрисами против угла ромба. Докажите теорему

оскольку ромб является одним из видов параллелограмма, то диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.

Кроме этого, диагонали ромба обладают другими свойствами.

Теорема.

(Свойство диагоналей ромба)

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Дано:

ABCD — ромб,

AC и BD — диагонали.

Доказать:

  AC и BD — биссектрисы углов ромба.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник ABC.

 AC=BC (по определению ромба).

Следовательно, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC (поопределению равнобедренного треугольника).

Так как диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам, то AO=OC.

Значит, BO — медиана треугольника ABC (по определению медианы).

Следовательно, BO — высота и биссектриса треугольника ABC (по свойству равнобедренного треугольника).

То есть,

  BD — биссектриса углов ABC (и ADC).

 Из треугольника ABD аналогично доказывается, что AC — биссектриса углов BAD и BCD.

Что и требовалось доказать.