в прямоугольный треугольник, периметр которого 36 см, вписана окружность. точка касания с окружностью делит гипотенузу в отношении 2:3. найдите меньший катет треугольника

Ответ:

Меньший катет треугольника равен 9см.

Объяснение:

В любом треугольнике расстояние от вершины треугольника до точки касания вписанной окружности со стороной треугольника, выходящей из данной вершины, есть разность полупериметра треугольника и стороны, противолежащей данной вершине:

AK = AM = p – BC.  => 3х =18 - (2x+r)  => r = 18-5x.

Тогда по Пифагору: АВ² = АС² + ВС²  => 25x² = (18-2x)² + (18-3x)²  => 12x²+180x -648 = 0. Или

x²+15x -54 = 0.  =>  x = 3. (второй корень отрицательный - не удовлетворяет условию).

Тогда меньший катет ВС равен  18 - 3х = 9 см.