ABCD и DCMK - квадраты. AB = 10 см. O и P - точки пересечения диагоналей квадратов ADCD и DCMK соответственное. Найдите площадь четырехугольника OCPD.

Докажем, что OCDP - квадрат. Точка пересечения диагоналей квадрата делит их пополам, так как квадраты равны, OC=OD=PC=PD, тогда четырехугольник является ромбом. В ромбе есть две пары равных углов, тогда если хотя бы один из углов - прямой, то ромб является квадратом. Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом (треугольники AOB, BOC, COD, AOD равны, тогда и равны углы при точке O, так как их сумма 360 градусов, то каждый угол равен 90 градусам). Таким образом, в ромбе OCPD есть два прямых угла - COD и CPD, значит, это квадрат. Известно, что диагональ квадрата равна его стороне, умноженной на sqrt(2) - здесь и далее - корень из 2, тогда сторона OCPD равна длине OC и равна 5sqrt(2). Площадь квадрата с такой стороной равна 50.