В треугольнике ABC бессектриса угла А делит высоту , проведённую из вершины В, в отношении 13:12, считая от точки В. Найдите радиус окружности , описанной около треугольника АВС, если ВС=10.

В треугольнике ABC бессектриса угла А делит высоту , проведённую из вершины В, в отношении 13:12, считая от точки В. Найдите радиус окружности , описанной около треугольника АВС, если ВС=10.
- Предмет:
  Геометрия
- Автор:
  janiahtivt
- 5 лет назад

Ответы 1

Чтобы решить задачку надо вспомнить расширенную теорему синусов. В данном случае, так как известна сторона ВС, то лучше воспользоваться стороной ВС и углом ВАС. Синус этого угла предстоит вычислить.

$2R=\frac{BC}{\sin\angle BAC}$

$2R=\frac{10}{\sin\angle BAC}$

$R=\frac{5}{\sin\angle BAC}\quad(1)$

Пусть ВН - высота, проведенная к стороне АС.

АК - биссектриса угла ВАС, где К - точка пересечения биссектрисы со стороной ВС.

Точка О - пересечение высоты ВН и биссектрисы АК.

Тогда по свойству биссектрисы, делящей ВН в отношении ВО:ОН=12:13,

из прямоугольного треугольника АВН стороны АВ и АН относятся так же друг к другу.

АВ:АН=13:12.

Заметим, что косинус - это отношение прилежащей стороны к гипотенузе. В данном случае

$\cos\angle BAH=\frac{AH}{AB}$

Нетрудно догадаться, что АН:АВ=12:13.

$\cos\angle BAH=\frac{12}{13}$

По основному тригонометрическому тождеству

$\sin\angle BAH=\pm\sqrt{1-\cos^2\angle BAH}$

$\sin\angle BAH=\pm\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}ight)^2}$

$\sin\angle BAH=\pm\sqrt{1-\frac{144}{169}}$

$\sin\angle BAH=\pm\sqrt{\frac{169-144}{169}}$

$\sin\angle BAH=\pm\sqrt{\frac{25}{169}}$

$\sin\angle BAH=\pm\frac{5}{13}}$

Заметим, что

$\sin\angle BAH=\sin\angle BAC$

Выбираем положительное значение синуса. Так как угол в треугольнике всегда от 0 до 180 градусов. Подставляем в формулу (1).

$R=\frac{5}{\frac{5}{13}}$

$R=\frac{5*13}{5}$

R=13.

Ответ: R=13.
- Автор:
  rylanmatthews
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ