В прямоугольном треугольнике высота и медиана, проведенные к гипотенузе, равны 24 см и 25 см. Найдите периметр треугольника.

Сделаем рисунок, обозначим вершины треугольника А, В, С, угол С=90°

Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы (свойство), ⇒, гипотенуза АВ=2СМ=50 см

Высота СН делит треугольник на два треугольника, подобных друг другу  и исходному (свойство).

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

Пусть отрезок АН = х см, а НВ=50-х

Тогда:  СН²=АН•НВ   ⇒ 24²=х(50-х)

576=50х -х²

х²-50х+576=0

Решив квадратное уравнение, получим значения

х₁=18 и х₂=32

Из прямоугольных треугольников, на которые высота разбила исходный треугольник АВС, найдем длину катетов.

АС²=АН²+СН²

АС²=576+324=900 ⇒ АС=30 см

ВС²=СН²+НВ²

ВС²=576+1024=1600⇒ ВС=40

Откуда Р(АВС) =50+40+30=120 см

--------------------------------

  В задачах  часто встречаются прямоугольные треугольники, отношения сторон которых выражены целыми числами (так называемыми Пифагоровыми тройками)

Такие задачи нередко можно решить устно. Для этой задачи решение:

 Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы ( свойство). ⇒ АВ=2•СМ=50 см.

 Высота  СН⊥АВ    Т.к. СН:СМ 24:25,  катет МН=7 (из Пифагоровых троек 24:7:25)

 Отрезок гипотенузы АН=АВ-(ВМ+МН)=50-(25+7)=18 см.

В  ∆ СНА отношение катетов АН:СН=18:24=3:4 ⇒ k=24:4=6 ⇒ ∆ АСН египетский, СА=5•6=30 см

В ∆ АВС отношение АС:АВ=30:50=3:5 ⇒ ∆ АВС- египетский, k=АВ:5=50:5=10 ⇒ ВС=4•10=40 см

Р(АВС)=АВ+АС+АС=50+40+30=120 см