Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см. Якою найбільшою може бути площа трикутника?

Площадь прямоугольного треугольника максимальна при одинаковой величине гипотенузы, когда острые углы равны по 45 градусов.Катеты равны по 10*(√2/2) = 5√2.Максимальная площадь равна Sмакс = (1/2)*(5√2)² = 50/2 = 25 кв.ед.Это доказывается так:Пусть катеты равны х и у.По Пифагору 10² = х² + у².Отсюда у = √(100-х²).Функция площади S = (1/2)x*√(100-х²).Найдём производную и приравняем нулю.S' = (50-x²)/√(100-x²) = 0.Для дроби достаточно приравнять нулю числитель (если знаменатель не равен 0).50-х² = 0.х = √50 = 5√2,у при этом равен √(100-(5√2)²) = √(100-50) = √50 = 5√2.То есть при равенстве катетов, при этом острые углы треугольника равны по 45 градусов.