Вокруг выпуклого четырёхугольника ABCD описана окружность. К - точка пересечения диагоналей данного четырёхугольника. Угол ВKС = 60 градусов, АВ = 43, DС = 4. Найти радиус описанной окружности. - №20694395

Вокруг выпуклого четырёхугольника ABCD описана окружность. К - точка пересечения диагоналей данного четырёхугольника. Угол ВKС = 60 градусов, АВ = 43, DС = 4. Найти радиус описанной окружности.
- Предмет:
  Геометрия
- Автор:
  alexvjhd
- 5 лет назад

Ответы 1

$ABCD -$ выпуклый четырехугольник, вписанный в окружность $AC$ ∩ $BD=K$ ∠ $BKC=60к$ $AB=43$ $DC=4$ Воспользуемся:Для произвольного треугольника ABC выполняется равенство $\frac{a}{sinA} =2R,$ где a - длина стороны, лежащей против угла А, R - радиус описанной окружности. $1)$ Пусть ∠ $KBC= \alpha$ , а ∠ $KCB= \beta$ Рассмотрим Δ $KBC:$ $\ \textless \ BKC+\ \textless \ KBC+\ \textless \ KCB=180к$ $60к+ \alpha + \beta =180к$ $\alpha + \beta =120к$ $2)$ Δ $ABC$ вписан в окружность, тогда $\frac{AB}{sin \beta }=2R$ $\frac{43}{sin \beta } =2R$ $3)$ Δ $DBC$ вписан в окружность, тогда $\frac{DC}{sin \alpha } =2R$ $\frac{4}{sin \alpha } =2R$ $\frac{43}{sin \beta }= \frac{4}{sin \alpha }$ $\alpha + \beta =120к$ $\beta =120к- \alpha$ $\frac{43}{sin (120к- \alpha ) }= \frac{4}{sin \alpha }$ $43 sin \alpha =4sin(120к- \alpha )$ $sin (120к- \alpha )=sin 120кcos \alpha -sin \alpha cos120к= \frac{ \sqrt{3} }{2}cos \alpha -sin \alpha *(- \frac{1}{2})$ $=\frac{ \sqrt{3} }{2}cos \alpha + \frac{1}{2}sin \alpha$ $43sin \alpha =4(\frac{ \sqrt{3} }{2}cos \alpha + \frac{1}{2}sin \alpha)$ $43sin \alpha =2\sqrt{3} }cos \alpha +2sin \alpha$ $41sin \alpha =2\sqrt{3} }cos \alpha$ $(41sin \alpha)^2 =(2\sqrt{3} }cos \alpha)^2$ $1681sin^2 \alpha =12cos^2 \alpha$ $1681sin^2 \alpha =12(1-sin^2 \alpha)$ $1681sin^2 \alpha =12-12sin^2 \alpha$ $1693sin^2 \alpha =12$ $sin^2 \alpha = \frac{12}{1693}$ $sin \alpha = \sqrt{ \frac{12}{1693} }$ $4)$ $\frac{4}{sin \alpha } =2R$ $\frac{4}{ \sqrt{ \frac{12}{1693} } } =2R$ $\frac{4}{ \frac{2 \sqrt{3} }{ \sqrt{1693} } } =2R$ $\frac{2 \sqrt{1693} }{{ \sqrt{3} } } =2R$ $\frac{ \sqrt{1693} }{{ \sqrt{3} } } =R$ $R= \sqrt{ \frac{1693}{3} }$
- Автор:
  joker6urp
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы

How much to ban the user?

1 hour 1 day 100 years