В треугольнике ABC AB=BC, AK и CM - биссектрисы. Докажите, что отрезок KM параллелен AC.

Дано: Δ АВС - равнобедренный;<А = <С, точка О пересечение биссектрис АК и СМ.

Доказательство:  АК = СМ, т. к. в равнобедренном тр-ке биссектрисы, проведенные к боковым сторонам равны (по теореме);

Четырехугольник АМКС, где СМ и АК - диагонали, Δ АОС равнобедренный , <ОАС = <МАО = <АСО = <КСО = х; <АОС = <МОС = 180 - х - х = 180 - 2х. ΔМОК - равнобедренный.Т.к. АК = МС и АО = ОС , то ОМ = ОК, <ОМК = <ОКМ = (180 - <МОК)/2 = 180 - (180 - 2х)/2 = х, т.е  <ОМК = <АСО и <ОАС = <ОКМ.

Если при пересечении двух прямых третьей внутренние разносторонние углы равны, то прямые параллельны (признаки параллельности прямых)ЧТД 

ΔАКС=ΔСМА по второму признаку равенства треугольников, так как АС- общая сторона, угол КСА=углу МАС (так как ΔАВС равнобедренный), угол КАС=углу МСА (так как АК и СМ биссектрисы).

Значит их высоты, проведённые из вершин М и К к стороне АС (обозначим их МН и КР) тоже равны.

В четырёхугольнике НМКР две стороны равны и параллельны, два угла прямые, значит НМКР- прямоугольник, значит КМ||АС