Докажите что в равнобедренном треугольнике высота проведённая к основанию является медианой и биссектрисой.

Дано:∆ ABC,AC=BC,CF — биссектриса.Доказать: CF — медиана и высота.Доказательство:Рассмотрим треугольники ACF и BCF.1) AC=BC (по условию (как боковые стороны равнобедренного треугольника))2) ∠ACF=∠BCF (так как CF — биссектриса по условию).3) сторона CF — общая.Значит, ∆ ACF=∆ BCF (по двум сторонам и углу между ними).Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов.Таким образом, AF=BF, следовательно, CF — медиана.∠AFC=∠BFC. А так как эти углы — смежные, значит, они прямые: ∠AFC=∠BFC=90º.Значит, CF — высота.Что и требовалось доказать.

Возьмём треугольник АВС с основанием ВС. Проведём в ней биссектрису. Назовём новую точку М.В треугольнике АВМ и треугольнике АСМ: 1. АБ=БС - треугольник АБС равнобедренный.2. АМ - общая сторона.3. Угол  ВАМ = углу МАС - АМ бессектриса.Значит, треугольник АВМ = треугольнику АСМ по 2 сторонам и углу между ними (1 признак равенства треугольников).Поэтому, ВМ=МС - медиана, угол АМС = углу АМВ, а они смежные и ровны, значит - высота.