при симметрии относительно середины стороны AC треугольника ABC вершина B переходит в точку D.Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом

Это утверждение неверно: отмеченный угол не обязан быть прямым. В общем случае полученный четырехугольник - параллелепипед (по потроению, диагонали делятся точкой пересечения пополам). Ромб получится только в случае, когда медиана АО совпадет с высотой (ь.е. только для равнобедренного треугольника).