Дан правильный тетраэдр, всё рёбра - 4.
т. N - середина AC, O - центр основания.
P принадлежит SO и SP:PO = 3:1. Доказать, что MP перпендикулярна BS

(Отметим, что в условии опечатка и N=M - середина АС)

В правильном тетраэдре все грани - правильные треугольники. 

М середина АС, ⇒,SM- медиана и высота треугольника ASC, 

а ВМ - медиана и высота треугольника АВС.

В равных треугольниках высоты равны.

 SM=BM=AB•sin60º= (4√3):2 =2√3⇒

Треугольник SMB- равнобедренный. 

О- центр основания⇒т.О – центр вписанной в правильный треугольник окружности и лежит в точке пересечения биссектрис ( для правильного треугольника они же - медианы и высоты).

Тогда МО=МВ:3 ( свойство медианы)=(2√3):3 = 2:√3

 По т. Пифагора SO=√(SM² - MO²) = (4√2):√3                              

Тогда РО=SO:4= √2:√3                                   

Из ∆ МРО по т.Пифагора MP=√(PO² +MO²)=√(2/3+4/3)=√2

sin∠ PMO= PO:MP=  (√2 : √2): √3 = 1/√3                                                          

Тогда НВ:МВ=1/√3, откуда НВ=2√3•1/√3=2

НВ - половина SB, поэтому МН - медиана ∆ SMB, а т.к. этот треугольник равнобедренный, то МН - его высота и перпендикулярна SB.

Точка Р принадлежит МН, и прямая МР перпендикулярна SB. ч.т.д.