докажите, что любая трапеция, вписанная в окружность, равнобедренная;

Параллельные прямые отсекают в окружности равные дуги, которые соответствуют равным хордам. Это все.

Можно объяснить, почему там равные дуги - равны накрест лежащие внутренние углы при этих параллельных (основаниях) и диагонали трапеции. Значит равны дуги, на которые они опираются.

А вписанный угол опирающийся на дугу измеряется половиной дуги, потому что его можно разделить (или дополнить) диаметром, и каждый из получившихся уголов является углом между диаметром и хордой, и соединяя центр с концом хорды, мы получаем равнобедренный треугольник, у которого 2 угола при основании равны исходному, а центральный угол будет внешним, равным их сумме, то есть центральный угол в 2 раза больше вписанного. Раз это верно для угла между любой хордой и диаметром (имеющими общий конец), то верно вообще для любого угла.

Описать окружность можно только в трапеции сумма противоположных углов которой равна 180град,тоесть равнобокой.

Дана равнобокая трапеция 

DC и AB основания 

DA и CB боковые стороны т.к. AB||DC, то <ADC+<DAB=180, т.к. AD -- секущаят.к. трапеция равнобокая, то <ADC=<DCB, значит <DAB+<DCB=180