Висота прямокутного трикутника проведена з вершини прямого кута, дорівнює h, а відстань від вершини прямого кута до точки перетину бісектриси меншого гострого кута з меншим катетом дорівнює d. Визначити довжину меншого катета й обчилити його значення, якщо h=7, d=5.

Задача составлена некорректно, но вычислить размер меньшего катета можно.По условию d=СM=5, h=CK=7, АС - меньший катет и ∠В - меньший из острых.СК=АС·ВС/АВ ⇒⇒ СК/АС=ВС/АВ.По теореме биссектрис СМ/АМ=ВС/АВ. Объединим два уравнения:СК/АС=СМ/АМ,АС=СК·АМ/СМ=СК·(АС-СМ)/СМ=h(AC-d)/d,d·АС=h·АС-dh,AC(h-d)=dh,AC=dh/(h-d)=5·7/(7-5)=17.5, Не похоже, что это меньший из катетов, ведь высота СК=7, а это намного меньше этого катета. Найдём второй катет.АМ=АС-СМ=[dh/(h-d)]-d=d²/(h-d), Опять, по т. биссектрис СМ/АМ=ВС/АВ,АВ=АМ·ВС/СМ=d·BC/(h-d).По теореме Пифагора АВ²=АС²+ВС²,d²·BC²/(h-d)²=[d²h²/(h-d)²]+BC²,(d²·BC²-BC²(h-d)²)/(h-d)²=d²h²/(h-d)²,BC²=d²h²/(d²-(h-d)²),   ВС=dh/√(d²-(h-d)²)=5·7/√(5²-(7-5)²)≈7.6,ВС<АС, значит ВС - меньший из катетов.Ответ: 7.6 

Можно взять другое свойство биссектрисы - каждая ее точка равноудалена от сторон угла. Тогда отрезок КМ из точки К пересечения биссектрисы с катетом, проведенный перпендикулярно гипотенузе, равен d. Далее - подобие треугольников АСН и АКМ ( Н и М лежат на гипотенузе, К - на АС) с тем же результатом.