Сколько сфер можно провести через окружность и точку,не лежащую на ней?

1) Если точка лежит в одной плоскости с окружностью, то нельзя провести через них сферу.

2) Пусть точка М не лежит в плоскости окружности и не лежит на прямой а.

Центр сферы - точка, равноудаленная от всех точек окружности и от данной точки М.

Все точки, равноудаленные от всех точек окружности, лежат на прямой а, проходящей через центр окружности перпендикулярно плоскости окружности.

Через прямую а и точку, не лежащую на ней, проходит единственная плокость. Пусть она пересекает плоскость окружности по прямой АВ.

Точки, равноудаленные от точек М и А, лежат на серединном перпендикуляре к отрезку МА.

Тогда точка пересечения этого серединного перпендикуляра и прямой а - точка S - и есть центр сферы (она равноудалена от всех точек окружности и от точки М). Так как такая точка единственная, то и сферу через окружность и точку М можно провести единственную.

3) Если точка М лежит на прямой а, то возьмем произвольную точку А на окружности и в плоскости АОМ построим серединный перпендикуляр к отрезку АМ. И дальше так же, он пересечет прямую а в точке S, которая и является центром единственной сферы.