Найти диагонали параллелограма ABCD, у которого AB=13 см, AD=16СМ и BE=9СМ, где точка E середина стороны AD.

Рассмотрим треугольник АВD.По формуле медианы треугольника имеем:ВЕ=(1/2)*√(2АВ²+2ВD²-АD²). Возведем обе части в квадрат и подставим известные значения:ВЕ²=(1/4)*(2АВ²+2ВD²-АD²). Или 81*4=(2*169+2*х²-256). Решая уравнение, получим:х²=121, х=11.Диагональ BD=11.В треугольнике ВСD медиана СО - половина второй диагонали параллелограмма. По формуле медианы:СО=(1/2)*√(2ВС²+2СD²-ВD²). Тогда АС=2*СО иАС=√(2*256+2*169-121)=√729=27.Ответ: диагонали параллелограмма равны 11 и 27.P.S. Задачу можно решить и через площади треугольников, помня, что медиана делит площадь треугольника на два РАВНОВЕЛИКИХ. По формуле Герона S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р- полупериметр, а,b,c - стороны треугольника. Тогда Sabe=√(15*2*7*6)=√1260. Sabd=2*Sabe. Sabd=2*√1260=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]. р=(13+16+х)/2 =(29+х)/2.(р-a)=(x+3)/2.(p-b)=(x-3)/2.(p-c)=(29-x)/2.Тогда Sabd= 2*√1260=√[(29²-х²)(x²-3²)]/4 или, возведя в квадрат, 64*1260=(29²-х²)(x²-3²). Пусть х²=y. Раскрыв скобки и приведя подобные, получим квадратное уравнение: y²-850y+88209=0, решив которое, получаем y1=729 и y2=121, отсюда х1=27 и х2=11.То есть, диагонали параллелогпрамма равны 11 и 27.

Вариант решения.

По т.косинусов cosA=АВ²+АЕ²-ВЕ² ):2АВ•АЕ

Точка Е - середина АD. Значит, АЕ=8

cosA=(169+64-81):208, откуда cosA=19/26 

Тогда ВД=√(AB²+AD²-2AB•AD•cosA)

BD=√(169+256 - 2•13•16•19/26)=√121=11 см

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон (свойство). 

Тогда ВD²+АС² =2•(АВ²+ВС²)

 121+АС²=2•(169+256)

АС=√729= 27 см