Третья и последняя (на сегодня), выручайте!!!

В конус вписан шар. Поверхность шара относится к площади основания как 4:3. Найти угол при вершине конуса. 

Вариант решения. 

Сделаем рисунок-схему конуса с вписанным шаром с центром О и радиусом ОН=r . 

∆ АВС - равнобедренный с боковыми сторонами - образующими конуса, и основанием - его диаметром.

ВН - высота конуса. СН=R- радиус его основания. 

Площадь основания -πR² 

Площадь сферы 4πr² 

 По условию 4πr²:πR² =4/3.                                                                               После сокращения получаем r²/R² =1/3, откуда r/R=1/√3

В ∆ ОСН r/R=tg∠ВСН=1/√3, и это тангенс ∠=30°.

Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис. СО- биссектриса ∠ВСН.                                              Следовательно ∠ВСН=2 ∠ОСН=60°

Тогда ∠ ВАС=∠BCA=60°, и  искомый ∠АВС=60° или π/3.