1) Сторона правильного треугольника вписанного в окружность равна 5 корень из 3 см. Найти сторону правильного шестиугольника, описанного около этой окружности.
2) Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен 2 корня из 3 см, а радиус окружности, вписанной в него, - 3 см. Найти сторону многоугольника и количество его сторон

1. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

R = a₃√3/3 = 5√3 · √3/3 = 5 см.

Эта же окружность вписана в правильный шестиугольник. Тогда сторона правильного шестиугольника:

a₆ = 2r · tg(180°/6) = 2r · tg30° = 2r · √3/3

r = R = 5 см

a₆ = 2 · 5 · √3/3 = 10√3/3 см

2. R = 2√3 см, r = 3 см

Запишем формулы стороны правильного многоугольника через радиус описанной и вписанной окружности, получаем систему уравнений с двумя неизвестными: а и n.

a = 2R · sin(180°/n) = 4√3 · sin(180°/n)                   (1)

a = 2r · tg(180°/n) = 6 · tg(180°/n)                            (2)

Приравниваем правые части:

4√3 · sin(180°/n) = 6 · tg(180°/n), и так как tgα = sinα/cosα, получаем:

2√3 · sin(180°/n) = 3 · sin(180°/n)/cos(180°/n)

Делим на sin(180°/n) обе части уравнения:

2√3 = 3/cos(180°/n)

cos(180°/n) = 3 / (2√3) = 3√3/6 = √3/2, ⇒

180°/n = 30°

n = 180°/30° = 6 - количество сторон многоугольника.

Для правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности: а = R = 2√3 см.

Или подставляем найденное значение в формулу (1) или (2):

a = 6 · tg(180°/n) = 6 · tg(180°/6) = 6 · tg30° = 6/√3 = 2√3 cм