На гипотенузу ab прямоугольного треугольника abc опустили высоту ch. Из точки h на катеты опустили перпендикуляры hk и he .
A) доказать что точки a, b, k, e лежат на одной окружности.
Б) найти радиус этой окружности , если ab=12, ch=5.

А) Если точки А, К, Е и В лежат на одной окружности, то четырёхугольник АКЕВ - вписанный. В нём ∠А+∠Е=∠К+∠В.СН⊥АВ, значит тр-ки АВС, АСН и СВН подобны.В тр-ке АСН НК⊥ АС, значит тр-ки АСН и НСК подобны.КСЕН - прямоугольник, значит тр-ки НСК и КЕН равны.Обозначим равные углы на рисунке. Сразу видно, что в четырёхугольнике АКЕВ ∠А+∠Е=∠К+∠В, значит он вписан в окружность.Доказано.Б) Пусть АН=х, ВН=АВ-х=12-х.СН²=АН·ВН,25=х(12-х),-х²+12х-25=0,х₁=6-√11, х₂=6+√11.АН=6-√11, ВН=6+√11.В тр-ке АСН АС²=СН²+АН²=25+(6-√11)²≈32.2,АС≈5.7.НК=АН·СН/АС=(6-√11)·5/5.7≈2.4,СЕ=НК,В тр-ке АСЕ АЕ=√(АС²+СЕ²)=√(32.2+2.4²)≈6.14,В тр-ке АВС sinB=АС/АВ=5.7/12≈0.47,В тр-ке ВАЕ АЕ/sinB=2R ⇒ R=АЕ/2sinB=6.14/(2·0.47)=6.5 - это ответ.На самом деле, радиус окружности, описанной вокруг любого из треугольников, образованных из вершин четырёхугольника АКЕВ, равен радиусу описанной окружности вокруг самого четырёхугольника.