Построить с помощью циркуля и линейки вписанный в данную окружность треугольник, если известно положение одной из его вершин и середина одной из сторон.

Это же описанная, а не вписанная окружность.

Перегибанием?

Соединяешь данную середину одной из сторон с центром - получаешь радиус. Перпендикулярно к нему через через середину стороны строишь саму сторону. Далее соединяешь все вершины и получаешь искомый треугольник