В треугольник АВС  с прямым углом С вписана окружность с центром О, касающаяся сторон треугольника АВ,ВС,АС в точках М ,Т ,Р соответственно.Расстояние от точки пересечения биссектрис  треугольника АВС до вершины С  равно корню из 8 см. Найдите радиус окружности, угол ТОР и угол ТМР.

Радиус окружности РО-?.

Т.к. углы РСТ=СТО=СРО=90 град, а РО=ТО - СТОР - квадрат.

По т.Пифагора

РО^2+РО^2=СО^2 (СО=sqrt8)

2РО^2=8

РО=2.

Радиус окружности 2см.

Угол ТОР = 90 град.

 Угол ТМР - ?

Рассмотрим треугольник РТМ.

Известно, что угол ТРО=РТО=45 град. (Голубого цвета).

Углы ОPL=OML (из равенства труегольников ОРL и OML: PO=OM=радиус, OL - общая, OL перпендикулярна к PM). (Красного цвета). Обозначим a

Углы OTN=NMO аналогично. (Зеленого цвета). Обозначим b.

Сумма углов треугольника 180 град.

180=45*2+2*a+2*b

(180-90)/2=a+b

Угол ТРМ=a+b=45 град