Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Угол О1СО2 - прямой (О1 - центр вписанной окружности, а О2 - центр данной нам окружности). Это  из того, что тр-ки О1nC и О1СК равны по трем сторонам ( СК=Сn по свойству касательных из одной точки, а О1n=О1К - радиусы), значит угол nCО1 равен углу О1СК. То же самое с углами mCО2 и O2CK - они равны. Сумма этих углов равна 180, то есть nCK + mCK = 180 отсюда 0,5(nCK + mCK) = 90. Итак, угол О1СО2 =90.

Мы знаем, что вычота из прямого угла тр-ка делит этот тр-к на подобные. То есть тр-к О1КС подобен тр-ку СКО2. Имеем соотношение КС/О1К = КО2/КС или 8/6=6/О1К.

Отсюда О1К = 4,5. Это искомый радиус.

Да, еще можно добавить:

В равнобедренном тр-ке биссектриса, медиана, высота и серединный перпендикуляр, проведённые к основанию, совпадают между собой. Центр вписанной окружности лежит на этой линии.То есть на линии ВК, которая и высота и медиана.Окружность с центром О2 - тоже вписанная в угол АВС, значит ее центр тоже на линии ВК.