Из вершины прямого угла С треугольника АВС проведена высота СР. Радиус окружности вписанной в треугольник ВСР, равен 8, тангенс угла ВАС равен 3/4. Найдите радиус вписанной окружности треугольника АВС

Поскольку тангенс угла ВАС равен 3/4, треугольник АВС - "египетский", то есть подобный треугольнику со сторонами 3,4,5. 

Высота к гипотенузе СР делит треугольник АВС на два, ему же подобных (из за равенства острых углов), то есть треугольник ВСР тоже "египетский".

Следовательно, его стороны можно представить, как 3х, 4х, 5х, и радиус вписанной окружности равен

r = (3х + 4х - 5х)/2 = х;

То есть x = 8, и стороны ВСР таковы 24, 32, 40.

На самом деле, ответ уже найден, поскольку соотношение r = (3х + 4х - 5х)/2 = х; связывает коэффициент подобия с радиусом (они просто равны, поскольку  у  "чисто" египетсткого треугольника 3,4,5 r = 1).

В данном случае ВС = 40, и она соответствует стороне 3, то есть r = 40/3.