в равнобедренную трапецию с острым углом a вписана окружность.Какой процент площади трапеции занимает площадь четырехугольника с вершинами в точках касания?

Решение: Пусть ABCD – данная трапеция, AB||CD,AD=BC,AB<CD.

Угол ADC=угол BCD=a

Пусть О – центр вписанной в трапецию окружности. K, L, M, N – точки касания окружности со сторонами AB,BC,CD,AD соотвеcтвенно.

Площадь трапеции равна (AB+CD)\2*2r=(AB+CD)*r.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис.

Угол ODC=угол OCD=а\2

Угол OAB=угол OBA =90-а\2.

Далее по свойству суммы углов четырехугольника (сумма равна 360, один из улов а или 180-а, два других по 90)

Угол KON= угол MON=180-а.

Угол KOL= угол MOL=a.

Площадь KLMN равна 4*1\2*r^2*sin a=2*r^2*sin a (площадь четырех равновеликих треугольников , две стороны равны радиусам, синусы углов равны sin а).

DN=CN=r*ctg (a\2), CD=2*r*ctg (a\2).

AL=BL=r*ctg(90-a\2)=r*tg (a\2), AB=2*r*tg (a\2)

Площадь трапеции ABCD равна (AB+CD)*r=(2*r*ctg (a\2)+2*r*tg (a\2))*r=

2*r^2*(tg(a\2)+ctg(a\2))).

площадь четырехугольника с вершинами в точках касания занимает процент площади трапеции

2*r^2*sin a\(2*r^2*(tg(a\2)+ctg(a\2))) *100%=

=sin a\(tg (a\2)+ctg(a\2))*100%=

=sin a*tg (a\2)\ (tg^2 (a\2)+1)*100 %=(sin a^2 * 50) %

Ответ: (sin a^2 * 50) %