Расстояния от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до концов боковой стороны равны 9 и 12 см. Найдите площадь трапеции.

Вся "хитрость" в том, что эти отрезки 9 и 12 - перпендикулярны, как биссектрисы внутренних односторонних углов. Сумма внутренних односторонних углов 180 градусов, значит сумма половин - 90, поэтому треугольник, образованный боковой стороной и этими отрезками - прямоугольный. 

Ясно, что это "египетский" треугольник со сторонами 9,12,15, и высота его равна 9*12/15 = 36/5; (это - радиус окружности, вписанной в трапецию).

Трапеция равнобедренная и в неё вписана окружность, следовательно, ПОЛУпериметр равен р = 15*2 = 30; радиус окружности равен вычисленной высоте треугольника r = 36/5, и площадь S = p*r = 30*36/5 = 36*6 = 216;