Теорема Чевы. Доказательство теоремы. Пример использования. Четкий, понятный и читаемый рисунок.

Теорема Чевы. Дан треугольник  и точки на сторонах BC, AC и AB соответственно. Отрезки  пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когдаЛемма. Если числа  таковы, что то,лишь бы знаменатель в ноль не обращался.Доказательство леммы. Оно элементарно. Кстати, те, кто в первый раз видит эту лемму, очень часто реагируют так: "Вы что же, числители и знаменатели складываете?! У нас в школе за это двойки ставят!" Впрочем, присмотревшись к утверждению и убедившись, что мы не собираемся таким образом дроби складывать, обычно все успокаиваются, особенно разобравшись в доказательстве.Обозначим общее значение дробей  и буквой Тогда что и требовалось доказать.Чтобы эта лемма стала совсем очевидной, хочется привести еще и то, что я иногда называю ПОКАЗАТЕЛЬСТВОМ, то есть рассуждение, не претендующее на роль строгого рассуждения, но помогающее приблизиться к "кухне математика". Итак, представьте две карты некой местности в разных масштабах, a - это расстояние между пунктами D и E, b - между E и F на одной карте, b и d - аналогичные расстояния на другой карте. В этом случае  - это отношение масштабов карт. Ясно, что если мы сложим a и c, то получим длину маршрута от первого пункта через второй к третьему на первой карте, а сложив b и d - длину маршрута на второй карте. Понятно, что их отношение снова равно отношению масштабов карт.Доказательство теоремы.1. Пусть указанные отрезки пересекаются в точке , тогда треугольник  оказывается разбит на 6 треугольников, занумерованных так, как указано на чертеже.  Рассмотрим первую дробьПоскольку числитель и знаменатель этой дроби являются основаниями треугольников  и  с общей высотой, дробь не изменится, если заменить числитель и знаменатель на площади указанных треугольников. А заметив, что на тех же основаниях стоят треугольники и , можно заменить числитель и знаменатель и на их площади. ПоэтомуВоспользуемся теперь леммой: дроби не изменятся, если взять разность числителей и разность знаменателей:Проведя аналогичное рассуждение для двух других дробей, получаем:что и доказывает теорему Чевы в одну сторону.2. Пусть  не пересекаются в одной точке.Проведем через точку пересечения  и  отрезок  (точка  расположена на стороне ). По доказанному,Если бы было выполнено,то что невозможно при (скажем, если точки на стороне расположены в порядке то числитель первой дроби больше числителя второй дроби, а знаменатель первой дроби меньше знаменателя второй, значит, первая дробь больше второй).На этом доказательство завершается. Замечание. Нетрудно получить тригонометрическую форму теоремы Чевы. Воспользуемся для этого теоремой синусов:Аналогично получаемОтсюда получается новая формулировка теоремы Чевы. Отрезки пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда Примеры.1) Медианы пересекаются в одной точке, поскольку все три дроби в основной формулировке теоремы Чевы равны 1.2) Биссектрисы пересекаются в одной точке. Здесь удобнее воспользоваться теоремой Чевы в тригонометрической форме.3) Высоты в остроугольном треугольнике пересекаются в одной точке. Опять легче воспользоваться тригонометрической формой.