Через середину К медианы ВМ треугольника АВС и вершину А проведена прямая, пересекаюшая сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АМК. Объясните!

Первое, что надо сделать - найти отношение ВР/СР;Есть очень много способов, я применяю тот, который используется при доказательстве теоремы Чевы. Через вершину В проводится прямая II АС. АР продолжается за точку Р до пересечения с этой прямой в точке Е.

Итак, ВЕ II AC;

Треугольники ЕВК и АКМ подобны (у них углы равны), поэтому ЕВ/АМ = ВК/КМ; в даном случае ВК/КМ = 1, и ЕВ = АМ; (то есть эти треугольники просто равны).

Отсюда ЕВ = АС/2; (ВМ - медиана)Треугольники ЕВР и АСР тоже подобны по тому же признаку, поэтому ВР/СР = ЕВ/АС = 1/2;Итак, СР = ВС*2/3; и, соответственно, площадь треугольника АСРSacp = S*2/3; (S - площадь треугольника АВС).Поскольку площадь треугольника ВАМ равна половине площади АВС, а площадь АКМ равна половине АВМ, то

Sakm = S/4;Таким образом, площадь четырехугольника КРСМ равнаSkpcm = Sacp - Sakm = S*(2/3 - 1/4) = S*5/12;Ответ 12/5;