Биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине С тупоугольного треугольника АВС пересекают прямую АВ в точках L и M соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если
СL = СМ,
ВС = 5,
АС = 12.

Опишем окружность около треугольника АВС. Диаметр этой окружности лежит вне этого треугольника, так как угол <B - тупой (дано).<MCL=90°, как угол между биссектрисами двух смежных углов (свойство).Значит <CLM=45° (так как CL=CM - дано). Тогда <LAС+<LCA=45° (так как внешний угол ВLC равен сумме двух внутренних, не смежных с ним). Умножим на 2 обе части этого уравнения: 2<LAK+2<LCA=90° или 2<BAC+<BCA=90°. Но <BAC+<BCA=180°-<ABC тогда <BAC+180°-<ABC=90° или <BАC=<ABC-90°.Проведем через точку А диаметр АК описанной окружности.Тогда <АСК=90°, как угол, опирающийся на диаметр.<AКC=180°-<AВC, так как опираются на одну хорду.<KAC=180°-<ACK-<AKC или <KAC=180°-90°-180°+<AВC или <KAC=<AВC-90°.То есть <KAC=<BАC. Это вписанные углы и дуги ВС и КС равны.Отсюда КС=ВС=5, как хорды, стягивающие равные дуги.Тогда по Пифагору AK=√(АС²+СК²) или АК=√(12²+5²)=13.Это диаметр. Значит радиус описанной окружности равен 6,5.Ответ: R=6,5.