На сторонах AB, BC, AC треугольника ABC отмечены точки D, E, P соответственно; AB = 9 см, AD = 3 см, AP = 6 см, DP = 4 см, BE = 8 см, DE = 12 см. а) Найдите отношение площадей ΔDBE и ΔADP. [4] б) Докажите, что DE и AC параллельны.

   Рассмотрим  ∆ АDP и  ∆ BDE . DB=АВ-AD=9-3=6 

ВD:DA=BE:DP=DE:AP=2:1

II признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Из подобия ∆ АDP и  ∆ BDE  следует равенство их углов: 

∠DBE=∠ADP. 

Если соответственные углы при пересечении двух прямых третьей равны, то прямые параллельны. ⇒DE||AC. Доказано.