В прямоугольном треугольнике ABC ( B=90°) отрезок BD-высота, проведённая к стороне AC, AD:DC=9:40, BD=4√5.Прямая a, параллельная высоте BD, делит треугольник ABC на две равновеликие части. Найдите длину отрезка прямой a, заключенного между сторонами треугольника ABC

Пусть прямая а пересекает АС в т.В1, ВС в т.А1. 

А1В1 делит  ∆ АВС на две равновеликие части, т. е. на треугольник и четырехугольник равной площади.  

S ∆ А1B1C=S BАB1А1= S ∆ABC:2

Прямоугольные  треугольники с общим острым углом  подобны. 

∆ CA1B1~ ∆ СAB. 

Площади подобных фигур относятся как квадраты отношения линейных размеров их сходственных элементов. 

k²=2 ⇒ k=√2

АВ:А1В1=√2 ⇒ A1B1=AB:√2

АВ найдем из ∆ АВD.

Примем коэффициент отношения отрезков AD:CD равным х.

Высота, проведенная к гипотенузе, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. 

Т.е. ВD² =АD•CD 

Тогда 80=40•9x² 

9х²=2⇒ х=(√2)/3 и  AD=9•(√2)/3 =3√2

 Катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу.

АВ²= BD²+AD²

АВ=√(80+9•2)=√49•2=7√2     ⇒ A1B1=7√2:√2=7